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理论与研究 康永·炭黑 / 橡胶复合材料多尺度微观结构分布模型
此渐近表达式对应的是二进制图像中的随机集 A 的体 合曲线能够描述矩阵形态。在这里 M1 材料相对于 M2
积分数的平方。h 值范围可能是微观结构的特征长度。 材料的白色区域较大。所以材料 M1 很不均匀，因此
各向同性的微观结构的协方差不依赖 h 的方向。 可描述团聚体之间的矩阵领域较大。
三阶矩 ：三点概率 A 由三个点的概率随机集 (x, x
+h 1 ,x+h 2 ) 组成。固定的情况下，它不取决于 x，而由
T(h 1 ,h 2 )决定：
T( h , h =) P { xx, + h , x + h ∈ A }
1
2
1
2
在这种情况下，这三个点是一个等边三角形的顶
点，因此模量的 h 1 和 h 2 等于 h。就如空的距离 h，协
方差的情况下三阶矩对应于一个点的概率。对于无限
距离 h，三阶矩达到渐近的价值，这是 A 集的体积分
数的多维数据集。这种在一个图像样本特征长度的平
均值，必须等于协方差，在使用中的各向同性的情况
图 8 材料 M1 的协方差图像
下取得的具有代表性的组织之一。
闭合曲线集 A ：由集 D 进行闭合操作得到。根据
尺寸标准将此操作添加到 A 的互补集 Ac 的一部分点。
闭合曲线由封闭的日益增加的直径 d 和盘 D(d) 的一组
点的可能性定义。对于固定的随机集，它并不取决点
的位置 x。我们有以下 ：
CI (d ) = P {x∈ (A⊕ D (d )) ⊗ D (d } )
图 8 和图 9 显示材料 M1 的测量图像的协方差和
三阶矩。每个图像都是材料中随机生成的一个单独片。
因此，要广泛的对材料采样。图 8、9、11 和 12 的各
种曲线无显著差异，这意味着该材料为各向同性。协
图 9 材料 M1 的三阶矩图像
方差在两个正交方向上进行了额外的测量 ( 在图像的
水平和垂直方向上，如图 6 和 7)，显示无显著差异。
我们可以得出这样的结论 ：根据预期的混合过程，炭
黑总量的分布是各向同性的。图 10 显示了相应的平均
方差和平均三阶矩。对于这矩阵，特征长度是约 40 像
素，128 nm。为空的距离 h 值对应于碳黑填料的二进
制瞬变电磁显微照片，约明显的 28% 面积分数。此值
等于填料体积分数的双倍，这是由切片厚度的影响造
成的。真实的厚度 ( 零厚度 ) 的面积分数为材料的有
效体积百分比 14%。图 11 和图 12 显示材料 M2 的测
量图像的协方差和三阶矩。图 13 显示了相应的平均方
差和平均三阶矩。特征长度是约 30 个像素，96 nm。 图 10 材料 M1 的平均协方差和三阶矩曲线
在图 8~12 显示了波动的曲线，是微观异质性的
1.5 微观结构的多尺度模型
结果。面积分数的变化使我们能够将误差降低到 5%。 本节的目的是模拟在橡胶基体中的碳黑网络形
材料 M1 的面积分数在 24%~33% 之间变化，材料 M2 态。第一部分主要介绍了基本模式，即球形布尔模型。
的面积分数在 27%~30% 之间变化。图 14 显示两种材 在第二部分，这主要模式是用于生成多尺度模型，考
料的闭合曲线是关于关闭操作系数 d 的一个函数。闭 虑到三个尺度的微观结构 [14] 。
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