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理论与研究 康永·炭黑 / 橡胶复合材料多尺度微观结构分布模型
C ( h) = C ( h)× C ( h)× Q ( h) with
i
e
CB
p
C p (h ) = Q p (h ) +1 − 1(2 −V vp ) 个几何的共变异量。事实上，一个炭黑粒子可以被描
 (hC
×  i ) = Q i (h ) +1 − 1(2 −V vi ) 述为两个半球冠状在末端结合。该表达式算法的第一
 2 ) 部分，产生团聚体的炭黑粒子被认为是与常量半径相
 Q e (h ) = 1( −V ve ) − (hr e
透射电镜切片的厚度 t(t 约为 40 nm) 与粒子的尺 关。同样，球型颗粒半径为常数。最后，六个参数是
寸 ( 约 20 nm) 差异不大。因此，可以在透射电子显微 从协方差分析 ：三个体积分数和每个布尔模型的半径
镜图像最多看到两个粒子。在此厚度条件下产生的协 中获取。在获得的参数中，只有四个初始未知数在优
方差的解析表达式必须要修改对应于粒子的协方差。 化算法初始化设置的部分获得了介绍。
C CB⊕ t (h ) ≅ C p⊕ t (h ) C× i (h ) Q× e (h ) 在表达式算法的第二个步骤中，这四个参数，
在上述表达式中，纳米炭黑粒子被看成是通过其 V vp ，V vi ，V ve 和 R e 是通过三阶矩和闭合曲线的减小协
规范对应的部分厚度的矢量扩张的球体。在这里，对 方差的误差重估计的。这种优化包括计算虚拟透射电
较大领域扩张的团聚体和排除的区域模型对应的影响 镜图像的三维模拟微观结构和实验形态学数据与相应
被忽视了。因此，表观体积分数使用布尔模型的理论 的统计矩的最小二乘误差。二进制的透射电镜图像切
表达式 ： 片，其切片厚度相同，是从 1 500 nm 的微观结构 ( 图
25b) 的三维模拟提取的 ( 图 25a)。此数值切片由二维
V ( A ∗ ⊕t )
1 ( −V vp app ) ≅ P { ∈ Ax C ⊕t } (= 1−V vp ) V ( A ∗ ) 镜像 1 像素厚度形成。这些二维图像投影在等效的透
投影平面向量 h ： 射电镜厚部分的平面上 (40 nm)( 图 25c)。对于一组参
K ∗ (h ) = K S (h ) tK+ D (h ) 数，周围会生成 40~50 张透射电镜图像。在此示例中
A p⊕ t
测量了平均统计矩和关闭曲线。
其中，K S (h) 是炭黑粒子和 K D (h) 的常量半径的一

图 25 微观结构的三维模拟数值的透射电镜图像

这个优化程序说明 Z 集合在 Z 选择模块中进行的 2 实验结果与讨论
Levenberg-Marquardt 算法。若要获取有关的值，参 对两种 M1 和 M2 材料获得的所有最终参数资料
数必须有界。首先，所有的体积分数明显小于 100%。 列于表 1 和表 2。
一个球形布尔模型的微粒的体积分数和排斥的区域要 表 1 一组适用于材料 M1 和 M2 的协调分析参数
颗粒粒径 包含的粒径 不包含的粒径
高于渗漏的体积分数，大概是接近 30%。夹杂物的 R p /nm V vp app /V vp R p /nm V vi R e /nm V ve
体积分数范围是 0~100%。描述排斥球体区域的球体 M1 15 0.72/0.35 90 0.52 62 0.22
M2 13 0.93/0.44 52 0.66 60 0.55
半径大约是 20~200 nm。分别对应一个炭黑粒子的平
表 2 两种材料 M1 和 M2 的模拟微观结构识别参数集
均半径，平均大小的下限和上限。根据 Levenberg-
颗粒粒径 包含的粒径 不包含的粒径
Marquardt 算法，在优化过程中的参数会增加。增量 R e /nm
V vp V vi V ve
M1 0.5 0.5 56 0.46
被初始化为所有参数的初始值的 10%。这种鉴定的方
M2 0.5 0.47 72 0.41
法是原始意义上优化微观结构的模拟和可以用于任何
类型的微观结构。 2.1 从协方差拟合分析（第一步）
材料 M2 的实验数据分析的协方差见图 26。表
在下一节中，两种材料的微观结构的模型就是基
于这种标定方法来确定的。 1 给出了两种材料 M1 和 M2 的两组参数。值得注意

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