Page 113 - 《橡塑技术与装备》2023年11期

,

0 , , ,
∗
测试与分析 杨慧丽 等·基于有限元法的带束层传递环夹持精度分析
0
∗ ∗
分量 ∗
（2）单元计算 , ,
记为：
通过节点位移与节点外载荷表达式，根据划分单
元所包含的节点个数，通过单元刚度矩阵，建立单元 (9)
1 1
其中 ： 2 2
节点力与单元节点位移的关系，单元刚度矩阵显示了 0
2 e 2
1
计算单元的弹性特性。下面说明单元刚度矩阵与单元 {F} — 单元节点力矩阵 ； 1 0 2
2
0 0
e
2
{K} — 单元刚度矩阵 ； 2
节点力及单元节点位移的关系 ： 0
e
, , {δ} — 单元节点位移矩阵。 0 0
单元内任意一点的位移表示为 ：
(3) 整体计算 0
(1) 0
1
1
将连续体离散为若干个小单元，各单元之间通过
∗
其中 ：
1
节点相互连接，由于 m 1 单元与 n 单元之间相连接的节
[W]— 位移参数矩阵 ； ∗ 1
1
{a}— 系数列阵。 点有相同的位移，因此可通过单元计算结果对 m 单元
1
1
, ,
由于单元节点的位置坐标已知，因此带入上式并 与 n 单元的组装以形成整体模型的计算，最终得到外
1
1 1
部载荷与整体模型节点位移的关系 ：
求解单元节点位移矩阵为 ： , , 1
0
∗ (2) (10)
式中 ：
上式中 [A] 为与该单元有关的系数矩阵，反解出 1 2 1 2
0
∗ {F}— 载荷矩阵 2 2
(2) 式并带入 (1)式得： , ,
{K}— 整体刚度矩阵 0 0
(3)
其中 [N]=[W][A] -1 为形函数矩阵，通过形函数矩 {δ}— 节点位移矩阵 0
0
阵可得到单元内部任意位置的位移。 通过 (2.10) 计算整体节点位移，再通过节点位移
∗
计算单元应变应力，从而完成模型整体的计算分析。
由弹性力学理论，单元内任意点的应变可表示为： , 1 1 ,
0
1 ∗ 1 1.2 有限元接触问题
2
2 , 2 ∗ (4) 1
0 ,
2
上式中 ： ∗ 0 利 用有 限 元 法分 析 工程 实 际 问题 时， 接 触问 题
0 [9] 1 1
0
[B]— 应变矩阵，通过弹性力学应变模式以及形 普遍存在 。接触问题是一种高度非线性问题，在
0
1
∗ 有限元法分析过程中常用的接触算法有罚函数法、
函数求得。
根据广义胡克定律，由弹性关系物理方程即可求 Lagrange 乘子法 [10] 、增广 Lagrange 法 [11] 等。对于
∗
1 1
1 2 1 2 Lagrange 乘子法，其解为精确解，但增加了计算变量，
得单元应力 ： 2 , 2 0 ,
1
, 1 2 , 1 , (5) 0 使方程性能变差，并且导入了零对角项，使方程变为
0
0 2 ,
0 ∗
上式中 ： 2 1 0 0 2 1 非正定方程，计算难以收敛 ；对于增广 Lagrange 法则
∗ 0 需要迭代求解 Lagrange 乘子，使计算量增加，增加计
[D]— 弹性矩阵 ； 1 0 ∗
[D][B]— 应力矩阵 1 2 ∗ 0 1 2 算成本。罚函数法计算为近似解，通过选取合适的惩
1 1 0
2 2
在任意节点的虚位移下，单元节点力所做虚功与 罚因子可满足精度要求，同时其实现简单方便，计算
1
0 0 量不大，完全满足接触计算需求。
单元内力所做虚功之和为零，依据虚功原理建立等式：
1
1
0
1 0 (6) 对于罚函数法，其势能泛函 J 表示为 ：
1
1
其中 ： 0 ∗ 0 1 1 2 1 2
∗ 1 1 2 2 0
1
1
1 2 1 ∗ ∗ (7)
2
1 0 上式中 ： 0
2 12 0
∗ ∗ (8)
0 0 K— 弹性系数 ； 0
上三式中 ：
1
1 0 x— 物体位移 ；
δA σ — 单元节点力虚功 1
F— 外力 ；
δA σ — 单元内力虚功 ； 1 1
ε N — 罚函数 ； 1
T
*
{δ } — 单元节点虚位移矩阵。 1 1
1
1
2 2
0 g o — 接触穿透量。
1
1
1 (6) 并整理得 ：
将式 (7) 与 (8) 2 带入式 2 1 2 1 2
2 0 2 1 1
2 2 0 0
2 2 0 1
2023 第 49 卷 1 0 1 0 0 0 0 ·57·
年
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